【武漢肺炎】學者:疫情燒到「這月份」才見頂

● 徐丞志/台大化學系助理教授

「老師,請問武漢肺炎疫情什麼時候才會結束?」這是昨(29)天我學生問我的一句話。

我當下回應是,我不是公衛和流行病學專業,所以我無法回答。不過學生問的這個問題,其實從化學課本中教過的知識,或許就可以嘗試來回答。

時間先拉回到小年夜武漢封城那天(1月23日),官方公布的武漢肺炎(2019-nCoV) 單日確診人數,還只有200多人(包括中國國家健康衛生委員會WHO的報告),轉眼到初三(1月)27日,一天內的單日確診數已經達到1700多人,而在中國境內的總確診病例也在1月28日突破2003年SARS的數字。

▲武漢肺炎傳染預測圖 。(圖/台灣大學化學系助理教授徐丞志提供)

因為確診數字跳動非常快,而且不斷創新高,相信所有人都想知道:「到底有多少人被感染,以及疫情何時會結束?」

對於還沒發生的事情,除了上帝以外,沒有人知道正確答案。但是針對這問題,流行病學家參考過往的經驗,早已提出各種數學模型,去描述流行病傳播時,隨著時間變化被感染的人數可能是多少?

以 SARS 為例,2003年就至少有10篇統計模型被提出來,隔年還有人寫了文獻回顧整理(註一)。這些模型令人眼花撩亂,非相關專業背景的人很難知其究竟。(請參Chris T. Bauch, et al. (2005) “Dynamically Modeling SARS and Other Newly Emerging Respiratory Illnesses: Past, Present, and Future.” Epidemiology, 16, pp. 791-801.)

剛好我學生也隨口問了這個問題,因此在這邊,我從化學反應的碰撞理論作為起點,提出一個有高中化學程度就能大致理解的動力學模型,以較直觀的方式來去描述傳染病的傳播方式,以及被感染人數隨時間的變化。

接著,再嘗試透過過去的經驗和其他專家的意見,來預測這次武漢肺炎可能的走向(為了避免我被疾管局找去喝咖啡,請先詳閱文章結尾的聲明)。

▲本文作者說,下面動力學解說部分,沒興趣的人請跳過,請直接往下看疫情預測。(圖/取自免費圖庫Pixabay)

以下容我先上一點反應動力學的課,沒興趣的人可以直接跳到後面疫情預測的部分

動力學模型說明

首先我們要先想像,在一個空間裡面,有兩種人:一種是健康的人(用A表示),另一種是不幸被感染的人(用B表示),A和B在這個空間中會隨機亂走,因此有一定的機率會彼此相碰。

當A碰A或B碰B時,並不會有反應,但是當A碰到B的時候,則有一定的機率,被感染的B會將健康的A也變成B(將病原傳給A)。

我們可以把上述的情況用一條化學反應式來代表(反應不可逆):

A(一位健康者)+B(一位被感染者)→ 2 B(兩位被感染者)

如此,這個反應的速率,會跟空間中A和B的數量都分別呈正相關,因此當一群A裡面忽然有了B,隨著時間演進,整個群體會逐漸都變成B。

而被感染者B的數量,增加最快的時候,並不是最剛開始出現B時,而是A和B差不多是一樣多的時候,因為A跟B相碰的頻率會最高。

因此,你可以想像,起初被感染的B人數不多時,人數增加得並不快。接著,逐漸到邁向高峰,而當跨過最高峰後,因為可以被感染的人變少了,被感染人數B所增加的速率也就會迅速降低。

理論上,在不考慮健康者A自然死亡的情況下,A+B的數量會等於區域內的總人口數。但是若在疫情剛開始的時候進行隔離防疫,相當於限制B可以觸及A的機會和範圍。因此,A+B的總數量會隨著防疫的落實而大幅減少,形成一個初始的邊界條件,決定了最後的總感染人數。

▲「清流哥」武漢方艙醫院淡定看書 爆紅高學歷被起底。(圖/翻攝自微博)

這樣的一個極為簡化的模型,它的每日「新增」的被感染者(delta [B])就是化學上的二級反應式,寫成數學式子就是:

delta [B] = 「當日患者數」 x 「當日健康者數」 x 常數([A]*[B]* Const)

用這樣的式子就可以去計算,隨著疫情演進,在不同時間點被感染者的增加速率。

但是,有幾點需要特別注意:

第一,這個模型假設,一旦被感染就具有傳染力,即使是在潛伏期也是。

第二,因為從感染後,進入潛伏期到出症狀,以及檢體送樣後到確診,都需要一點時間。因此確診日期與實際被感染日中間會有誤差,以這次2019-nCov武漢肺炎來說,大概抓個 10-15 天的延遲。

第三,為了方便起見,我們假定每個人的延遲時間相同,因此直接以官方統計的「確診日期」來套用到模型上面,用來估算每日新增「確診數」。

第四,先前的SARS或MERS都證實存在有少數的超級傳染者,對疫情傳播有關鍵作用,但是在這個簡易的模型中我們假設每個人的傳播能力是一樣的。

理論建立好了,再來就是要去驗證。

▲武漢肺炎傳染預測圖 。(圖/台灣大學化學系助理教授徐丞志提供)

過去案例探討

本來,這個假期給自己訂下的工作,是要趁著難得的長假,把手邊幾篇學生已經寫好的初稿改一改。但是,從小年夜武漢封城開始,思緒就被疫情牽動,索性回去把自己以前的一些手稿和官方公布資料調出來讀。

找了幾個大家比較知道的,像是2003年的SARS、2014─2016的台灣登革熱疫情、前幾年的伊波拉,以及台灣近期的幾次流感大爆發,大致上都能fit進去統計數字中(左圖紅色的校正曲線就是用模型預估的理論值,藍色點為實際值)。

左圖選了幾個代表性的疫情貼給大家看。數據來源,包括:WHO網站台灣傳染病統計資料查詢系統

這邊要特別稱讚台灣傳染病統計資料查詢系統,數據非常詳盡,而且資料一抓就有,比較可惜的是,它的資料多是以周作統計,不像WHO很多疫情可以做到逐日更新。

從圖上來看,不管是登革熱或是SARS,每周/每日的新增人數都是兩側低、中間高,然後右翼(疫情減緩時)數字下降的會比較陡峭。

SARS疫情因為是逐日登載,所以上下跳動的幅度比較大。

而登革熱的數據,因為是每周紀錄,相當於做了七點平均,因此平滑許多。在登革熱的數據R^2值,甚至都可以超過0.95,可以很大程度解釋傳播機制(關於登革熱疫情我在 2015 年就曾討論過,當時估算時,沒考慮不同區疫情的長短,以及防疫工作的影響。因此,那次估出來的數字與實際的數值差了好幾倍,這次的預測會一併考慮此效應)。

▲蚊子叮咬。(圖/取自免費圖庫Pixabay)

為了方便大家理解和比較不同傳染病間疫情的差別,我定義校正曲線上半高寬所橫跨的期間,為疫情的「高峰期」。在數據點半高寬碰觸的兩邊,恰好是確診數增加速率為快的時候(切線斜率最大),而同時也可作為一個比較疫期長短的基準。

譬如,2015年台南登革熱高峰期(約六周),就遠比2014年的高屏區登革熱疫情(約十一周)要短;而同樣是 SARS,在香港疫情高峰期約 40天(3/18─4/27),但在台灣就大概只有18天(從圖上也可以清楚看出來。

儘管當年 4/24 和平醫院就封院了,但是從事後數據看來,真正的高峰要到 5/10 才來,而此時香港的疫情,已經結束的差不多了)。這個高峰期,我們在後面預測本次武漢肺炎未來走勢時,也相當重要,請大家先牢記。

至於總確診數,就是整個區線底下的線下面積,因此曲線涵蓋的範圍愈大,感染人數愈多。

特別注意的是,圖上的縱軸,代表的是單位時間(天/周)內「新增」的個案數。因此,這裡說的疫情結束,是指感染人數不再新增,而不是感染人數歸零。即使感染人數不再新增,可能還是存在大量感染人數,和新增死亡人數。

 

▲武漢肺炎/湖北封城。(圖/路透)

回頭再來看看此次的2019-nCoV武漢肺炎,在用這個模型作數據推估前,我們先看一下其他流行病學專家怎麼說。

Eric Toner預估會死6500萬人

各家統計的 2019-nCoV 感染人數,從幾萬人到上億都有人估計,估最高的是Eric Toner,在去年十月就預測的新型冠狀病毒會大流行,並且殺死六千五百萬人。但是這個數據我一直找不到原始論文,加上這個數字看起來是在毫無防疫措施的前題下推估的,因此先暫且擱一邊。

Jonathan Read刪去20萬人染病的預估

另一個比較可信的,是Lancaster大學的Jonathan Read等人在1/24放上medRxiv的一篇論文,在它的第一版中提到:在沒有有效的防疫措施下,到2/4那天之前,光是武漢地區就會有約20萬人被感染。並且隨著春運,疫情會在中國各大城市遍地開花。

不過,在他們 1/27 上傳的第二版論文中,已經刪去了該段20萬人染病的預測,並在修正了參數之後,更新了其中一項數字。推估1/22之前,在武漢的總感染約是兩萬人。這篇因為是極少數的預測中,有公開他們的原始論文內容的,因此後面的估計,會有很大比重是參考這篇。不過須注意的是,這篇並沒有討論何時會是疫情高峰。

所有的預測模型都有一個特性,就是數據點愈多,模型的預測力會愈強,因此愈是後期的預測,儘管數學工具不同,但是預測的數字,會愈接近真實狀況。

這兩天,有兩位醫界專家不約而同分別作出預測:第一位是當年的抗SARS大將鍾南山,他認為疫情大概在2/9達頂峰,但是沒有預估最終的確診人數。

▲武展(武漢國家會展中心)方艙醫院內部環境。(圖/記者葉國吏攝)

港大醫學院院長:疫情4至5月封頂

第二位是香港大學醫學院院長梁卓偉,他推估在1/27,武漢已經有四萬多人感染,而且因為中國其他大城市也會出現大規模傳染,因此整體疫情要到4至5月才封頂

綜合上述預測內容,搭配手邊現有的確診數據,我嘗試以這個簡單的動力學模型來推估可能的確診數。

狀況一(橘線):2/9達到確診高峰,日增一萬確診病例。

我這邊給了三個劇本,分別以感染人數從多到少、每日確診人數高峰從遠到近來排序。

(因為篇幅的關係,模型參數的設定、優化等細節,就不在此贅述。)

第一個狀況,比較接近 J. Read 在第一版的論文中提到的,防疫效果低,感染人數在2/4破20萬的情況(注意可被觀察到的確診數要推遲到2/18 以後)。

另外,參考當年SARS在台灣高峰期大約18天,可以得到右圖的橘色線。

在這個劇本中,確診數高峰要到2/9左右之後才開始,並且持續約三周。最高峰時,每天新增的確診病例會達到一萬人,最後總人數約 24 萬上下(請自行抓正負 50%)。

而這個劇本也會類似2003年台灣的SARS,當年和平醫院封院,距離高峰期還有兩個禮拜。而這次武漢封城(1/23),距離2/9也大約是兩周多一點的時間。

不過這個狀況的前題,是前面封城的防疫效果不佳,到二月初才停止人傳人的情況,而 J. Read 那篇第二版自己也拿掉了這個預測,因此是否走這個劇本,我個人比較抱持懷疑的態度

狀況二(綠線):1/31進入高峰期,直到2/13日增2000至4000確診病例。

狀況二(綠線),就是武漢等城市封城隔離後,收到不錯的防疫效果。

因此,在1/23之後,人傳人的情況大幅收斂,往後推遲兩周被確診。高峰會落在二月上旬,疫情高峰期縮短為兩週,並且從1/31開始進入高峰期。在高峰期,每天會有2000至4000個新增確診病例,並持續到2/13。

這個劇本很接近鍾南山的預測,但在套用模型後,則多了一個確診人數總數,這邊推估約六萬人左右。

因此狀況一與狀況二要區分,就是觀察從最高峰的2/9之後,是否新增數有下降趨勢?如果下降幅度明顯,到了2/13以後低於每日兩千人,那可能就代表高峰期已經結束,大概可以判斷這波疫情有機會在二月下旬走完。

現在單從人數要判斷是狀況一或二,尚言之過早。但是,以這次武漢封到街上跟《我是傳奇》電影場景差不多的情況,我比較傾向是未來會走這個劇本。

▲武漢肺炎/湖北封城。(圖/路透)

狀況三(紅線):最樂觀版本不可採

狀況三(紅線)是最佳劇本,現在就是高點!

但這個劇本連中國官方都沒人這樣樂觀,絕大部分的官員都是說防疫措施在元宵節(2/8) 後見效,因此機會應該不高。

但不排除一個特殊的情況,就是若這次2019-nCoV是以輕症,甚至無症為主,而大家基於「不想去醫院作檢測以降低感染風險」的心態,反而造成很多病例無法被官方確認。若真的這樣走,這個特殊情況是我目前能想得到的可能性。

畢竟這次武漢封的這樣徹底,可以說是人類史上最大規模的一個社會學實驗,這樣大規模的隔離,如何影響人類的行為,也只能事後諸葛了。

另外特別提一下,這個劇本的總確診人數是兩萬人,差不多就是 J. Read 推估1/22前的感染數。至於結果如何,再過一周見分曉。(2/2 更新:這個版本從1/30至2/2 的新增確診人數來看已經破功,這個劇本可以丟掉了!

在這裏特別強調:

圖上預測都是在「武漢肺炎疫情『沒有』在其他中國境內城市大規模群聚感染」的情況下才成立。因為,若從其他城市開始新的散播,會爆發出新的獨立疫情,並且和舊的曲線交疊,會讓數據判讀相對複雜。

狀況四:疫情至少6至7月才能善了

若要考慮這樣的情況,那就會有一個圖上沒畫出來的「狀況四」,也就是港大醫梁卓偉講的,其他大城市遍地開花,疫情就真的至少要落到6至7月才能善了。

(2/2 更新:國際醫學權威期刊《The Lancet》在 2/1 發表一篇論文,根據他們的流行病學模型推估,疫情要到4月之後才會達到高峰)。

結論與聲明

在這篇文章中,我試著以簡化後的反應動力學模型,來描述傳染病的傳播模式。試著讓具有高中以上化學基礎的人,以直觀的方式理解傳染性疾病的爆發與疫情特徵。

此外,若是在武漢以外的城市沒有大規模發生疫情傳播的情況下,此次中國的2019-nCoV武漢肺炎疫情,有機會在二月底就能收尾,視防疫成效高低,最終的確診人數可能會落在六萬到二十四萬人之間。

▲武漢首個方艙醫院開始收治武漢肺炎病患。(圖/翻攝新華社)

另外,本篇主要是作為教育用途,嘗試以理科教科書中教過的觀點,來幫助大家理解疫情的可能進展。本篇提出的模型非常簡陋,有非常多的假設,與實際狀況差異甚遠,不能當作真正的流行病學預測,也未經同儕審查(peer review)、未經同儕審查、未經同儕審查(很重要所以要說三次),亦不能作為正式的學術報告。

再次強調,本篇的目的是要讓有高中化學背景的人,以比較直觀的方式去理解疾病傳染是怎麼回事。

實際上,流行病學中經典的SIR model,就是在A和B之後,多了一個R(代表康復者)。若對SIR model有了解的人,會發現本篇的模型只有S和I(對應到A和B),所以沒有辦法算reproductive number(R0)這項(相當於被感染者一直具有傳染力,這點很不符合真實世界的情況)。

 

▲杭州封城 。(圖/杭州日報)

2/6 數據更新

本文發表於1/30,圖上呈現的數據只統計到 1/29,此後的中國境內每日新增確診人數補充如下:

1/30 新增 1982 人(劇本二估 1755 人)
1/31 新增 2102 人(劇本二估 2116 人)
2/01 新增 2590 人(劇本二估 2512 人)
2/02 新增 2829 人(劇本二估 2929 人)
2/03 新增 3235 人(劇本二估 3340 人)
2/04 新增 3887 人(劇本二估 3711 人)
2/05 新增 3694 人(劇本二估 4001 人)
2/06 新增 3143 人(劇本二估 4170 人)

▲溫州2月2日半封城後,目前現場街景情況。(圖/讀者提供)

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